manbetx赛事直播连通和给予D上一个加法半群结构

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文章关键词:manbetx赛事直播,自由李代数

  简单来说,如果M是一个有一些对称的流形,那么我们就可以对维数做归纳法,怎么做呢?

  M上一个Killing field是M上一个生成流全为M上等距变换的向量场

  而N_i与M维数至少差2,因此可以如果N_i上的Hopf猜想都对,那么M自然也对。

  自然要问,N_i从M上继承了什么?如果M上足够对称是不是N_i也足够对称?

  而G中极大环面等距作用在M上,基本上可以看成一个元素作用在上面,因为每个环面都有一个拓扑生成元(无理流),特别地,作用的不动点集可以看成某个killing field的零点集,所以用上面的结论,每个连通分支都是测地子流形,我们有:

  故由M单连通保证H^1 vanish,推导出所有奇数维上同调都消失,即证。

  由于每个连通分支N_0都含在一个极大连通分支N中,如果N的余维数=2,那么由上M欧拉示性数0,不需要归纳。

  否则N的余维数不小于4,而N的对称秩不小于M的对称秩-1(同理把原来的Abel李子代数限制到N维数是原来-1),所以N满足归纳假设条件,所以N_0欧拉示性数0.

  由于奇数维紧流形的欧拉示性数恒等于0,下面只考虑M,N为n维紧流形,其中n是偶数,我们有

  Poincare对偶保证其为非退化对称双线性型,设正特征值有r个,负特征值有s个(记重数),

  所以如果M,N的二次型矩阵表示是A,B,那么连通和上二次型矩阵表示就是A,B分块对角阵。

  所有4m维紧光滑流形的保持定向微分同胚类全体记为D,manbetx赛事直播连通和给予D上一个加法半群结构,S^4m是单位元,上面的讨论表明:

  等距的定义中切映射的保内积性表明等距局部保持测地线,也就是说f(p)点与p点附近的黎曼度量结构大抵相同。考虑平坦的欧氏空间,则等距即正交变换+平移,其中一点都可用一个等距映射映到任何一点,这反映了欧氏空间的对称性。

  回到一般黎曼流形,考虑M中任何两点,连接它们的曲线建立了两点的联系(不妨总假定考虑的流形是连通的),因此我们可以用黎曼度量反映曲线长度,进而引入整体的距离——度量。

  回到Myers–Steenrod定理,其有两条叙述,我们考虑第一个也是较为简单的一个结果:

  等距性表明整体的度量可以刻画局部的黎曼度量,而光滑性表明整体的度量可以反映微分结构,后者在Richard Palais (1957)On the differentiability of isometries有一个更深刻的结果,其表明黎曼流形的微分结构可以从整体度量恢复出来。

  而光滑性这点是不容易的,其某种意义下是“刚性”的体现——另一个类似的结果是李群的连续群同态一定是光滑的从而是李群同态。

  使得这两点的指数映射分别把U,V映成半径为的p,q附近测地球。(半径取充分小)

  关于f是满射这个先验的假设,似乎不太自然,实际上不能够去掉,考虑正实轴的右平移算子即可。

  f*g同伦于fg同伦于gf同伦于g*f第一个乘积为基本群运算,第二个为拓扑群运算

  紧连通李群,中心平凡(即G中与所有元交换的元只能是单位元),则有限Abel群。

  ,则这些截面曲率均=0,从而X与所有的Y的李括号均为0,从而X属于g的中心,g中心平凡所以X=0)

  的同伦群具有周期关系(8为周期),类似的对U(n),Sp(n)有其他周期规律,它们的同伦群从而可以完全算出来:

  的不大于n-2阶同伦群(n较大),可以同时减8再减8降低次数再计算。(可以用来决定低阶同伦群)

  另外一阶Betti数=G的中心的维数现在来看上同调结构,我们可以计算出所有紧单李群的Poincare polynomial如下:

  首先单纯上同调可用derham上同调计算,其中的微分形式可设都左不变,而bi等于i次双不变形式的维数。用李代数语言,左不变微分形式全体保次数的对应李代数g的外代数A,G右乘作用在A上,不动元即双不变形式。这一表示给出李代数g的表示,因此最后归为李代数的上同调,只要知道李代数的结构常数,理论上就可算出bi。

  紧连通李群中有基本的两类,即环面与连通半单紧李群,后者万有覆叠仍紧半单且中心有限。

  证明的想法是先把李代数拆成中心与换位子的直和,利用半负定的killing form证明后者半单。

  而单连通紧半单李群的分类化为紧半单实李代数的分类,复化后可借助复半单李代数的分类,且只需分类所有单李代数,再划归为根系的分类,最后得到A,B,C,D四大类以及几个额外序列,对应紧单连通单李群为SU,Spin,manbetx赛事直播Sp以及几个额外李群,最后只需要计算出中心。

  利用这个分类可以得到一些拓扑的结果,例如紧连通实李群的有理系数上同调环一定同构于一些奇数维球面的乘积的上同调环。manbetx赛事直播(这就得到之前的Betti数之和是2的幂这一结果)

  而上面的有限子群D并非随意选取,其取决于紧单连通单李群的中心,后者可由根系读出,因此我们得到:

  证明可参见GTM98,chapter 3,想法是考虑G的复值表示函数(即G的某个有限维复表示的矩阵表示中的系数)全体A,其是一个复数域上的有限生成代数,并且是Hopf algebra。考虑A到复数域的代数同态全体G_C,A的Hopf代数结构给出其一个群结构,另外A的有限生成性质给出其一个代数簇结构,可验证此使得G_C成为一个复数域上的线性代数群,称为G的复化。而取值映射给出G到G_C的嵌入(由Peter weyl知其为单射),由此G可看成G_C的real points。

  基本想法仍然是使用李代数给出交换李群分类,以及使用李代数计算上同调/构造一个典范的3形式,得到非交换李群的3阶上同调一定不消失。

  F阿基米德,则可通过积分取平均得到F^n上K不变内积,从而K包含在某个内积的线性自同构群中,后者共轭于O(n)或U(n).

  F非阿基米德,O是其整数环,则GLn(O)是保持格O^n不变的线性自同构群。我们只要证明存在一个格L,K保持L不变,则K包含在保持某个格不变的线性自同构群中,后者与GLn(O)共轭。K交GLn(O)是K的一个开子群,由有限覆盖定理其指标有限,因此令L是K·O^n,即为一个符合要求的格,即证。

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